Думаю, не высокий сезон, когда море холодное, осенью с октября или позже (точно не знаю) и до июня, наверное. В мае тепло, но море тоже холодное.
Не знаю, как конкретно на Эгине, но я в Греции снимала жилье через booking.com и airbnb, предложений очень много, особенно на втором по приятным ценам.